|
Пакет
ортогональных многочленов orthopoly
Ортогональные многочлены (полиномы)
находят самое широкое применение в различных математических расчетах. В частности,
они широко используются в алгоритмах интерполяции, экстраполяции и аппроксимации
различных функциональных зависимостей. В пакете orthopoly задано в функци:
>
with(orthopoly);
[G,H,L,P,T,U]
Однобуквенные имена этих функций
отождествляются с первой буквой в наименовании ортогональных полиномов. Вопреки
принятым в Maple 7 правилам, большие буквы в названиях этих полиномов не указывают
на инертность данных функций — все они являются немедленно вычисляемыми. В данном
разделе функции этого пакета будут полностью описаны. Отметим определения указанных
функций:
- G(n,a,x)
— полином Гегенбауэра (из семейства ультрасферических полиномов);
- Н(n,х)
— полином Эрмита;
- L(n,x)
— полином Лагерра;
- L(n,а,х)
— обобщенный полином Лагерра;
- Р(n,х)
— полином Лежандра;
- P(n,a,b,x)
— полином Якоби;
- Т(n,х)
— обобщенный полином Чебышева первого рода;
- U(n,x)
— обобщенный полином Чебышева второго рода.
Свойства ортогональных многочленов
хорошо известны. Все они характеризуются целочисленным порядком n, аргументом
х и иногда дополнительными параметрами а и b. Существуют простые рекуррентные
формулы, позволяющие найти полином n-го порядка по значению полинома
(n - 1)-го порядка. Эти формулы и используются для вычисления полиномов
высшего порядка. Ниже представлены примеры вычисления ортогональных полиномов:
Представляет интерес построение
графиков ортогональных многочленов. На рис. 14.1 построены графики ряда многочленов
Гегенбауэра и Эрмита.
Рис. 14.1.
Графики ортогональных многочленов Гегенбауэра и Эрмита
На рис. 14.2 построены графики ортогональных
многочленов Лагерра и Лежандра.
Наконец, на рис. 14.3 даны графики
ортогональных многочленов Чебышева Т(n, х) и U(n,
х).
Приведенные графики дают начальное
представление о поведении ортогональных многочленов.
Рис. 14.2.
Графики ортогональных многочленов Лагерра и Лежандра
Рис. 14.3.
Графики ортогональных многочленов Чебышева
К примеру, многочлены Чебышева имеют
минимальное отклонение от оси абсцисс в заданном интервале изменениях. Это их
свойство объясняет полезное применение таких многочленов при решении задач аппроксимации
функций. Можно порекомендовать читателю по их образу и подобию построить графики
ортогональных многочленов при других значениях параметра и и диапазонах изменения
аргумента х.
В отличие от ряда элементарных
функций ортогональные многочлены определены только для действительного аргументах.
При комплексном аргументе просто повторяется исходное выражение с многочленом:
>
eva1f(U(2,2+3*I))):
Р(2,2 + 3I)
> evalf(sqrt(2+3*I)));
1.674149228+ .8959774761I
Ортогональные многочлены неопределены
также и для дробного показателя n. Впрочем, надо отметить, что такие многочлены
на практике используются крайне редко.
| 
